人教高中数学第8讲 求与几何体的切接（教师版）.docx

第8讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022新高考一卷第8题
已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【思路分析】画出图形，由题意可知求出球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，由勾股定理可得，又，所以，由的取值范围求出的取值范围，又因为，所以该正四棱锥体积，利用导数即可求出的取值范围．
【解析】【解法一】(统一为h)：如图所示，正四棱锥各顶点都在同一球面上，连接与交于点，连接，则球心在直线上，连接，
设正四棱锥的底面边长为，高为，
在中，，即，
球的体积为，球的半径，
在中，，即，
，，
，又，，
该正四棱锥体积，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
（4），
又，，且，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是，，
故选：．
【解法二】(统一为l)：由球的体积为36π，得球的半径R=3.
设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则=−，=+，解得h=，=2−,于是正四棱锥的体积V=h=(2−)，设x=∈[9,27]，则V=,求导得=),由>0得9≤x<24, 由<0得24<x≤27,故V在[924]上增，在[24,27]上减，当x=24时V取最大值，当x=9时，V取最小值，V的取值范围是[,].
注：亦可以运用三元基本不等式+边界值求解。
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. 
（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A． B． C．
D．
思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径得知直线被球截得的线段就是球的截面圆的直径.
球与长方体
例2 自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．
例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.
球与正棱柱
（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
二、 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题 
（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有； 
例4　正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．
【解析】　如图正四面体A－BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝a，又VA－BCD＝4VO－BCD，（）∴R＝h＝a.
（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的