人教高中数学第8章 §8.12　圆锥曲线中探索性与综合性问题.docx

§8.12　圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一　探索性问题
例1　(2022·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，且·＝3.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)设双曲线C的焦距为2c.
由双曲线C的离心率为2知c＝2a，
所以b＝a，
从而双曲线C的方程可化为－＝1.
由题意知，l：y＝x＋，
联立
得2x2－2x－6－3a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为Δ＝(－2)2－4×2×(－6－3a2)
＝72＋24a2>0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝－3－a2.
因为·＝3，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋)(x2＋)＝3，
于是2x1x2＋(x1＋x2)＋6
＝2×＋×＋6＝3，
解得a＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．
设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点．
当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．
当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．
教师备选
(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得kEF＝，
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以kAB＝－，
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，①
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－<t<，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由AF⊥BE得·＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，
将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t代入上式，
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，
所以5t2＋t－18＝0，解得t＝ (t＝－2舍去)，
满足Δ>0，
所以直线l的方程为y＝－x＋.
思维升华　存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1　(2022·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P(t,0)(t>0)的直线l与C交于A，B两点．
(1)若t＝4，求AP长度的最小值；
(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得·＝－4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设A，由P(4,0)，
可得|AP|2＝2＋y
＝－y＋16
＝(y－8)2＋12≥12，
当y0＝±2时，|AP|取得最小值2.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得y2－4my－4t＝0，
即有y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3,0)，
N(x4,0)，
所以Q的轨迹方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝4m2＋2t，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝－4m2t＋4m2t＋t2＝t2.
所以