人教高中数学第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）（教师版）.docx

第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
角度2：椭圆中参数范围问题
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
角度2：双曲线中参数范围问题
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
角度2：抛物线中参数范围问题
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练****如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.
【答案】.
当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立，
设,则，
由弦长公式可得；
因为,故，进而可得
所以四边形的面积为
,
因为，即，
，当且仅当时，等号成立，
当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为
∴四边形面积的最小值为.
例题2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，若的中点为，为原点，直线交直线于点，求取最大值时直线的方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
(2)解：设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
例题3．（2022·全国·高三专题练****已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)由题意可得，∴由题意可得且，解得，，
∴椭圆的方程为：．
(2)解法1：由（1）可得，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时，化简得： 又，解得 或（舍去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设，，设其方程为：，联立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，
若，则直线方程为：，∴直线恒过定点，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，，
，，
，等式两边同时除以，，，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
同类题型归类练
1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
(1)椭圆与抛物线有相同的焦点，
即且，
，
椭圆的方程为：.
(2)由（1）可知的坐标为.
显然的斜率不为0.
设直线的方程为：，设，.
联立,可得,
恒成立，
，,
,
.
当且仅当,即时取等号,
面积的最大值为.
2．（2022·江苏·高二）已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为椭圆的离心率为，
又点Q在椭圆C上，且满足，
所以，即，
则，，
所以椭圆方程为：；
(2)由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为．
联立得，消去x得，
，化简整理，得．
设，，则，．
∵PM⊥PN，
∴．
∵，，，得，
将，代入上式，得，
得，
解得或（舍去），
∴直线l的方程为，则直线l恒过点，
∴．
设，则，，
易知在上单调递增，
∴当时，取得最大值为．
又，
∴．
3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)(