人教高中数学第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明（教师版）.docx

第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022新高考一卷第17题
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【思路分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
【解析】（1）解：【解法一】(隔项累乘法)：已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．所以．
【解法二】(王安寓补解)(相邻累乘)：仿法一得,
∴=1×=,
显然 n=1时=1适合上式，故=.
【解法三】(王安寓补解)(构造常数列)：仿法一得(n−1)=(n+1),
即n(n−1)=(n+1)n,,故{}是常数列，∴=，∴
=.
（2）证明：由于，
所以，
所以．
【试题评价】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1　求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．
解　所求数列的前n项中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和
Sn＝×1＋×××2
＝＋
＝2
＝.
反思感悟　公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中q为公比．
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
解　当x≠±1时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上可知，
Sn＝
反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3　设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.
解　∵F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，
∴F＋F＝F＋F＝…＝1.
设F＋F＋…＋F＝S，
∴S＝×2S＝×2 020＝1 010.
反思感悟　(1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．
(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
四、裂项相消法求和
例4　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
解　∵＝＝，
∴原式＝＝
＝－(n≥2，n∈N*)．
延伸探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
解　∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋
＝(n－1)＋
以下同例4解法．
∴原式＝ n－－(n≥2，n∈N*)
反思感悟　(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
五、错位相减法求和
例5　已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(