人教高中数学第30讲　高考题中的解答题一（三角函数）（教师版）.docx

高考题中的解答题一（三角函数）
一、解三角形综合问题
(一)　利用正弦、余弦定理解三角形　
(1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形．
(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
[典例]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值．
[解]　(1)由S＝absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S，
得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C.
由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac，
所以a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为0<B<π，所以B＝.
(2)因为a2＋c2－b2＝ac，a＝b＋1，c＝b－2，
所以(b＋1)2＋(b－2)2－b2＝(b＋1)(b－2)，
解得b＝7，所以a＝8，c＝5.
所以cos A＝＝＝，
cos C＝＝＝.
方法技巧
(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．
(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式．
针对训练
1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
解：(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝.
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)，
因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A)，
又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，
与A＝联立，解得C＝.
(2)证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，
sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)．
由余弦定理，得accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，
代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2.
法二：因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知锐角△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①A＝；②sin C＝；③a＝；④c＝4.
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)△ABC同时满足①，③，④.
因为：若△ABC同时满足①，②，
则在锐角△ABC中，
因为sin C＝<，所以0<C<，
又因为A＝，所以0<A＋C<，
所以B>，与△ABC是锐角三角形矛盾，
所以△ABC不能同时满足①，②.
由已知得△ABC一定同时满足③，④ .
因为c>a，所以C>A，若△ABC满足②，
则A<C< ，所以0<A＋C<，
则B>，与△ABC是锐角三角形矛盾，
所以△ABC不满足②.
所以△ABC满足①，③，④.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以 10＝b2＋16－2×b×4×，
解得b＝3或b＝.
当b＝时，cos C＝＝<0，所以C为钝角，与已知矛盾，
所以b＝3，
所以△ABC的面积为S△ABC＝b