人教高中数学第32讲　高考题中的解答题三 （数列）（教师版）.docx

高考题中的解答题三 （数列）
数列求和
(一)　分组转化法求和　
某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
[典例]　(2022·济南二模)已知{an}是递增的等差数列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.
[关键点拨]
切入点
(1)根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案．
(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案
障碍点
求数列{cn}的前n项和Sn要分n为奇数还是偶数进行讨论
[解]　(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，数列{bn}的公比为q，
由已知得解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n.
所以b1＝a1＝3，q＝＝3，所以bn＝3n.
(2)由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…，
若n＝1，则S1＝b1＝3，也符合上式．
方法技巧
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差数列或等比数列，则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和；
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝且数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和；
(3)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和．
针对训练
(2022·菏泽二模)已知数列{an}中a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.
解：(1)证明：由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1，　①
得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，　②
由①－②，得an＋an＋1＝2n(n≥2)，
由an＋1＝－an＋2n⇒an＋1－＝－(n≥2)，
又当n＝1时，由①得a2＝1⇒a2－＝－，
所以对任意的n∈N*，都有an＋1－＝－，
故是以为首项，－1为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－＝⇒an＝，
所以an＋1＝，代入①，得Sn＝－－，
所以S1＋S2＋…＋S2n＝(22＋23＋…＋22n＋1)－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)2n]－
＝－0－n＝.
(二)　错位相减法求和　
若数列{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{an·bn}的前n项和，可以运用错位相减法.
[典例]　(2022·石家庄二模)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[关键点拨]
切入点
(1)根据an与Sn得关系，计算即可得出答案．
(2)求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和
障碍点
求Tn时错位相减法后得到等比数列，注意准确确定其项数
[解]　(1)当n≥2时，由2an＋1＝Sn＋2，得2an＝Sn－1＋2，两式相减得2an＋1－2an＝an，所以＝，
因为a1＝1，a2＝＝，所以＝，
所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，通项公式an＝n－1.
(2)bn＝an·＝(n－2)·n－1，
则Tn＝－1×0＋0×＋1×2＋…＋(n－2)·n－1，Tn＝－1×＋0×2＋1×3＋…＋(n－3)·n－1＋(n－2)·n，
两式相减得
－Tn＝－1＋＋2＋…＋n－1－(n－2)·n＝－2＋－(n－2)n，
所以Tn＝2(n－4)n＋8.
方法技巧
运用错位相减法求和的关键
判断模型
判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列
错开位置
为两式相减不会看错列做准备
相减
相减时一定要注意最后一项的符号
针对训练
(2022·临沂二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由Sn＋1＝2Sn＋1，得Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1，
∴an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)．
又a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1，
∴a2＋a1＝2a1＋1，整理得a2＝2a1.
∴数列{an}是首项为