人教高中数学第八节 第2课时 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题 教案.doc

第2课时　解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．
技法一　回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．　　
[典例]　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．
[解题观摩]　由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得
解得a2＝2，故a＝.
所以双曲线C2的离心率e＝＝.
[答案]　D
[名师微点]
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．　　
[针对训练]
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选B　法一：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝|AF2|＝a，
∴点A是椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，－b)，
由F2(1,0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
法二：由题意设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中， cos 2θ＝＝，∴＝1－22，解得a2＝3.又c2＝1，∴b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，
知|PF|＝xP＋m，
又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，
则2＝＝
≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，
所以≥，所以的最小值为.
答案：
技法二　设而不求，金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．　　
[典例]　(2021·石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为(　　)
A. B．
C. D．
[解题观摩]　由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，
联立，得x2－8kx＋8km－8n＝0，
因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，
所以k1＋k2＝，k1k2＝，
又由x2＝8y得y′＝，所以x1＝4k1，y1＝＝2k，
x2＝4k2，y2＝＝2k，
所以kAB＝＝＝＝，
因为点P(m，n)满足2＋2＝1，
所以1≤m≤3，
因此≤≤，
即直线AB斜率的最大值为.故选B.
[答案]　B