人教高中数学第七节 第2课时 精研题型明考向——解三角形及应用举例 教案.doc

第2课时　精研题型明考向——解三角形及应用举例
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅲ·利用正、余弦定理求角的三角函数值)
在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：选A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，解得AB＝3，所以 cos B＝＝.故选A.
2．(2020·全国卷Ⅰ·正、余弦定理与平面几何相结合)如图，在三棱锥P­ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则 cos∠FCB＝________.
解析：依题意得，AE＝AD＝.
在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，
由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－2 cos 30°＝1，
所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.
又BC＝＝＝2，
BF＝BD＝＝，
所以在△BCF中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
答案：－
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ·结合“劳育”考查解三角形问题)某中学开展劳动实****学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.
解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，作AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′， 记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P.
设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，
于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形．
又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，
∴5－3m＝7－5m，解得m＝1，
∴AF′＝OF′＝5－3m＝2，∴OA＝2，
∴阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2)．
答案：＋4
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ·条件的选择，正、余弦定理解三角形)
在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
解：方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
5．(2020·全国卷Ⅰ·利用正、余弦定理求面积)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解：(1)由题设及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝2或c＝－2(舍去)，从而a＝2.
所以△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)因为在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝.
而0°＜C＜30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
6．(2020·全国卷Ⅱ·利用正、余弦定理求边、角及最值问题)
△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解：(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②
由①②得cos A＝－.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由