人教高中数学第十讲导数与函数的极值、最值解析版.docx

第十讲：导数与函数的极值、最值
【考点梳理】
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1），不一定是极值点
（2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点.
(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程的根
（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况
若左正右负，则为极大值；
若 左负右正，则为极小值；
若 左右同号，则无极值。
3.最大值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最大值
4.最小值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最小值
【典型题型讲解】
考点一：求函数的极值与极值点
【典例例题】
例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.
【详解】（1）的定义域为，
且，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，
故的极大值为，没有极小值.
（2）设直线分别切，的图象于点，，
由可得，得的方程为，
即：；
由可得，
得的方程，即：.
比较的方程，得，
消去，得.
令（），则.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以在上有一个零点；
由，得，
所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.
例2.已知函数……自然对数底数）.
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当时，
（i）证明：存在唯一的极值点：
（ii）证明：
【答案】
(1)
，构建
当时，则在上单调递减，且
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
（i）由（1）可知：当时，在上单调递减
∴在内存在唯一的零点
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
∴存在唯一的极值点
（ii）由（i）可知：
∵，即
，且
∵在单调递减
则
构建，则当时恒成立
则在上单调递增，则
则，即
∴
【方法技巧与总结】
1．在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式训练】
1．（2022·广东汕头·一模）已知函数（且为常数）.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
(1)
解：函数的定义域为，则.
令，则，由，可得，列表如下：
减
极小值
增
所以，.
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增，则函数无极值点；
②当时，令，则，由，可得，列表如下：
减
极小值
增
且当时，；当时，.
作出函数与函数的图象如下图所示：
（i）当时，直线与函数的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为、，且，
由图可知，当或时，；当时，.
此时，函数有个极值点；
（ii）当时，由图可知，直线与函数的图象有一个交点，设其横坐标为，且，
当时，；当时，.
此时函数只有个极值点.
综上所述，当时，函数无极值点；
当时，函数有个极值点；
当时，函数只有个极值点.
(2)
解：不等式对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
令，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，故存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，