人教高中数学课时跟踪检测（四十八） 4大策略找到解题突破口 作业.doc

课时跟踪检测（四十八） 4大策略找到解题突破口
1．在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx＋3交于M，N两点．
(1)设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值；
(2)y轴上是否存在点P，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：将y＝kx＋3代入x2＝6y，得x2－6kx－18＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－18，
从而d1d2＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝18为定值．
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
从而k1＋k2＝＋＝＝.
当b＝－3时，有k1＋k2＝0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－3)符合题意．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．
解：(1)依题意得解得
∴椭圆C的方程是＋＝1.
(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，
设线段AP中点为M，又A(3,0)，
∴AP中点M，直线AP的斜率为，
由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，
∴直线AP的垂直平分线方程为
y－＝－，
令x＝0得B，
∵＋＝1，∴B，
由F(－2,0)，∴四边形FPAB的面积S＝(|y0|＋)＝≥5，
当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时等号成立，
四边形FPAB面积的最小值为5.
3．(2021年1月新高考八省联考卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解：(1)当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，
有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.
(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，
设B(x，y)(x＞0，y＞0)易知渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈，当x>a，x≠2a时，则kAB＝，kBF＝.
设∠BAF＝θ，则tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA.
因为2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.
当x＝2a时，由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝，
故∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.
4．已知椭圆W: ＋＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(n,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．
(1)当n＝0，且直线CD⊥x轴时， 求四边形ACBD的面积；
(2)设n＝1，直线CB与直线x＝4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．
解：(1)由题意，得a2＝4m＝4, 解得m＝1.
所以椭圆W方程为＋y2＝1.
当n＝0及直线CD⊥ x轴时，易得C(0,1)，D(0，－1)．
且A(－2,0