人教高中数学秘籍05 立体几何小题：截面与球（7个题型）（解析版）.docx

秘籍05 立体几何小题：截面与球
概率预测
☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
外接球表面积与体积最值问题
立体几何的考察主要会以截面、组合体外接球和内切球以及轨迹动点求最值等的形式来考察学生对于空间想象能力的考察，难度不小，一般会出现在选填的压轴题里，也有可能出现在多选以多个维度去考察。这里主要对各个题型进行总结，需要在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
【题型一】 截面最值
求截面方法：
平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行
相交线法：
两条相交直线确定一个平面
若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内
1. 正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）
①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；③当，时，设与棱的交点为，则；④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值．
【答案】②③④
【详解】解：
当时，点与点重合，，此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，．故①错误；
当，时，为的中位线，，，，为等腰梯形的面积，
过作于，，，，，，，故②正确；
由图可设与交于点，可得，，
，则，，故③正确；
当时，以为定点，为底面的棱锥为，，故④正确；
故答案为：②③④．
2.如图，长方体中，AB=BC=4，，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，则长方体被平面AMN所截得的截面面积为___________.
【答案】
【详解】
如图，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，所以N为的中点.延长交直线MN于点P，连接AP交于点E；延长交直线MN于点Q，
连接AQ交于点F.则PM=MN，NQ=MN.于是易得E､F分别为､的三等分点，因此截面为五边形AEMNF，
，，，，
过作于，交于，由，可得，故.
故答案为：.
3.如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8
此时作正四棱台俯视图如下：
则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为
所以截面面积的最大值为
所以选B
1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体
（如图2），设分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）
A．与为异面直线
B．经过的平面截此正八面体所得的截面为正五边形
C．平面平面
D．平面平面
【答案】D
【详解】
如图，将正方体补充完整为,
连接,
则在中，为的中点，
所以，
在中，为的中点，
所以，从而，A错误；
取的中点依次为，
连接，
则有,
且，
所以经过的平面截此正八面体所得的截面为正六边形，B错误；
要证平面平面PCD，即证平面平面，
连接，
因为平面，
所以平面，平面，
所以，且所以
且平面，
所以平面，
又因为平面，所以
所以为平面与平面所成的角，
设正方体的边长为，
则，
从而，所以，故C错误；
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
且平面，，
所以平面平面，D正确，
故选：D.
2．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为___________
【答案】
【详解】如图将正方体补全，依题意可得、、、为正方体底面边上的中点，
要使球的表面积最小，即为求的外接球的表面积，
如图建立空间直角坐标系，则，，则几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，
设球心为，球的半径为，则，
即，解得，
所以，
所以外