人教高中数学专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入（解析版）.doc

专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
1．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.
【详解】
画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
目标函数化为，
由，解得，设，
当直线过点时，
取得最小值为.
故选：B.
2．（2021·浙江高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
3．（2021·全国高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
4．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：.
故选：D.
5．（2021·全国高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
6．（2021·全国高考真题（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
7．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
次，那么______.
【答案】5
【分析】
（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
【详解】
（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
1．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知实数满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】
作出实数满足的约束条件表示的平面区域，再由目标函数的几何意义借助几何图形求解即得.
【详解】
画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区域，含边界，
目标函数，即，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：，平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最小，z最小，
由得，即点，于是得，
所以目标函数的最小值为.
故选：A
2．（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C． D．
【答案】C
【详解】
，所以.
第7题解析：由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，，∵，，∴，，
故平面，
所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，
取中点，连接，，则，
∴，，，四点共面，
∴点的轨迹即为等腰梯形，
由正方体棱长为2得，，
故轨迹长度为.
3．（2021·全国高三三模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详