人教考点06 导数及其应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.doc

考点06 导数及其应用（核心考点讲与练）
1．导数的概念
平均变化率瞬时变化率某点的导数在一点可导在区间上可导导函数
2．导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于．
3．常见函数的导数公式：
（为常数）； ； ； ； ；
（，且）； ； （，且）．
4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：
法则1 ．
法则2 ．
法则3 ．
5．导数的应用
⑴利用导数判断单调性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．
1.导数研究不等式恒成立问题，求最值问题，关键是将已知不等式分离为两个易于处理的函数之间的不等关系，利用数形结合方法求得a,b满足的条件，得到后，再构造函数，利用导数求最大值.
2.导数研究函数的单调性，根据极值点求参数范围，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于理解极值点的定义，结合符号分类讨论，将问题转化为在局部区间（为足够小的正数）上的函数的符号，在讨论过程中注重引用“隐零点”的问题，实现极值的求解.
3.研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：
（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.
4.利用导数研究函数的极值点以及利用导数解决不等式恒成立时的参数的范围问题，有较强的综合性，要求明确导数与函数的单调性以及极值之间的关系并能灵活应用，解答的关键是构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，其中要注意分类讨论.
5.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
6.利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））设函数在点处附近有定义，且为常数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导函数的定义可得选项.
【详解】解：因为为常数，所以，
故选：C.
2．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
【分析】求导得到，即得解.
【详解】解：由题得，
当时，，
故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C
3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，
由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
4．（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；
【详解】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
5．（2022·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设切点，求得切线方程，根据切线过点，得到，再根据存在3条直线与曲线