人教考点11 复数（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点11 复数（核心考点讲与练）
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
复数的概念
1. （2021届广东省七校第三次联考） 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再根据复数虚部的定义求解即可.
【详解】因为，
所以虚部为.
故选：C.
2. （2022广东省深圳市高三质量评估）若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【分析】根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.
【详解】化简原式可得：
z为纯虚数时，≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误.
故选A
3.（多选题）复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为3 B．的虚部为2 C． D．
【答案】BD
【分析】根据复数的除法运算化简求出，再根据复数的定义、共轭复数的定义和复数的模的运算，分别求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，即可判断得出答案.
【详解】解：由于，
可得，
所以的实部为-3，虚部为2，
所以，.
故选：BD.
4. （2021广东省江门市蓬江区培英高中5月冲刺）已知是虚数单位，若复数满足，则（ ）．
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【分析】先求出，然后根据复数的模求解即可
【详解】，
，
则，
故选：C
复数的运算
1.（2020福建宁德市六校联考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用复数除法的运算法则计算z的值即可.
【详解】，
故选：．
2. （2021浙江省舟山中学高三10月月考）若，则=___________ ，__________ ；
【答案】 ①. ②. ；
【分析】根据复数的模的公式和复数的运算即可求出答案.
【详解】因为，所以；
.
故答案为：；.
3. （2021福建省高