人教考向31 与球有关的切、接应用问题（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向31 与球有关的切、接应用问题
1．（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
2．（2016·全国高考真题（文））在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.
考点：球及其性质.
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．
球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【知识拓展】
与球有关的组合体的常用结论
（1）长方体的外接球：
①球心：体对角线的交点；
②半径：为长方体的长、宽、高).
（2）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球：
①外接球：球心是正方体的中心，半径为正方体的棱长)；
②内切球：球心是正方体的中心，半径为正方体的棱长)；
③与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径(为正方体的棱长).
（3）正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：
①外接球：球心是正四面体的中心，半径为正四面体的棱长)；
②内切球：球心是正四面体的中心，半径为正四面体的棱长).

1．（2021·河南驻马店市·高三月考（理））三棱锥的各个顶点都在球的表面上，且是等边三角形，底面，，.若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三月考（理））某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，正方体内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体
的体积的比值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·山西长治市·高三月考（文））已知三棱锥A－BCD中，BC＝CD＝2，BD＝2，△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为__________.
4．（2021·全国高一课时练****已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．
1．（2021·河南（文））已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高一课时练****一个棱长为的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南高三月考（理））已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，，，三棱柱的侧面积为，则球表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高一单元测试）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国高三专题练****已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河北沧州·高三月考）（多选题）下图中正方体边长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．正