人教高中数学专题3-8 利用导函数证明不等式(解析版）.docx

专题3-8利用导函数证明不等式
目录
专题3-8利用导函数证明不等式 1
1
题型一：作差法构造函数证明不等式 1
题型二：放缩法 9
题型三：数列不等式证明 16
22
题型一：作差法构造函数证明不等式
【典例分析】
例题1．（2022·河南·扶沟县第二高中高三阶段练****理））已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
（1）
由题可知函数的定义域为 ，
，
即，
(i)若，
则在定义域上恒成立，
此时函数在上单调递增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上单调递减，上单调递增.
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，上单调递增.
（2）
当时，，
要证明，只用证明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解设为，且，
所以，
当变化时，与的变化情况如下，
单调递减
单调递增
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得证.
例题2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线与直线平行，求切线的方程；
(2)若函数，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解．
（1）
，则，
由题意可得：，即，
切点坐标，切线斜率，则切线l的方程为即，
∴切线l的方程为.
（2）
∵，即，
即证，
构建，则，
构建，则当时恒成立，
∴在上单调递增，则，
即在存在唯一的零点，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则，
∵，则，
则，
则，即．
【提分秘籍】
利用导数证明不等式的基本方法,可作差构造函数．若，则在上单调递增．同时，即或若，则
在上单调递减．同时，即．
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二阶段练****理））已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
，当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
x
+
0
-
增函数
极大值
减函数
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
(2)
显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
2．（2022·广东中山·高二期末）已知函数在处有极值2．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）解：由已知，，则
  
解得，  
经检验，符合题意.     
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，．
要证，
只需证．
即．         
令，则．   
令，解得．                 
，的变化情况如下表所示．
1
－
0
+
单调递减
1
单调递增
所以，时，有最小值．
故成立
3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练****已知函数的最小值为．
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
（1）函数定义域为，．
①若，则，在上单调递增，没有最小值；
②若，则由，得；由，得．因此，在上单调递减，在上单调递增，
故,
解得.
(2)
证明：由（1）知．
令，则
．
当时，，，所以（当且仅当时“＝”号成立），所以在上单调递减．
因此，当时，有，即．
4．（2022·河南安阳·高二阶段练****理））已知函数，.
(1)若在定义域上单调递减，求的取值范围；
(2)若，，证明：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解：函数的定义域为，，
由题意可知，对任意的，恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
(2)
证明：当时，，要证，即证，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，
因此，当时，，对任意的，.
题型二：放缩法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高二阶段练****理））已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【详解】（1）