人教高中数学专题07 函数的奇偶性(解析版).docx

专题07 函数的奇偶性
专项突破一 奇偶性的判断或证明
1．下列函数中是奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】对于A，，，，故为非奇非偶函数，
对于B，，定义域为，，为偶函数，
对于C，，为偶函数，
对于D，易知定义域为R,，，为奇函数．
故选：D
2．已知函数，则（       ）
A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数
【解析】对于A，，
且，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，
对于B，，
且，所以的定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，故B正确，
对于C，，且，
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，
对于D，，
且，所以的定义域关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，故D错误，
故选：B
3．下列函数中，既是偶函数，又在内单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由于，，的定义域是，，
所以选项AD的函数是偶函数，选项BC的函数不是偶函数，排除BC，
上是增函数，是减函数，故选：D．
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1)（1）∵函数的定义域是，关于坐标原点不对称
∴既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵函数的定义域为，关于坐标原点对称．
又，∴为偶函数．
(3)∵函数的定义域为，关于坐标原点对称，
∴既是奇函数也是偶函数．
(4)的定义域为．
∵
∴，∴为奇函数．
5．函数.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)解不等式.
【解析】(1)，任取，令，
则，
∵则，可得，
∴即，∴函数在上递增．
(2)的定义域为，
∵即，
∴为定义在上的奇函数．
(3)即，∵函数在上递增，
∴即或．
6．已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
【解析】(1)因为函数对一切实数都有成立，，
所以当时，即，
令可得，所以，即
(2)令可得，所以，
所以，即，，
所以函数是奇函数.
7．已知函数满足．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【解析】(1)因为，令，则，所以；
(2)因为，令，则，又，
所以，即；
(3)因为且，所以，，，，，，所以，；
8．设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
【解析】(1)证明：因为函数对任意，都有，
所以令，则，得，令，则有，
所以，即，所以为奇函数
(2)证明：设，则，而时，有，则
，
所以，所以为减函数
(3)因为为奇函数，，所以，
所以，所以，
所以不等式可转化为，
因为为减函数，所以，即，解得，
所以不等式的解集为
专项突破二 利用奇偶性求函数值或解析式
1．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（       ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【解析】由已知可得，，
因此，．故选:A．
2．设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　   　）
A． B．
C． D．
【解析】设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.故选：B.
3．已知函数为偶函数，则（       ）
A．2 B． C． D．
【解析】函数为偶函数，当时，，，，
即，又，故故选：A.
4．已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（       ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【解析】 是在R上的奇函数， ，带入 得 ，
即 ， ， ，
， 关于直线对称，
即原点 是 的对称点，x=1是对称轴，
故函数 是周期为 的周期函数，
，故选：A.
5．已知是R上的奇函数，且当时，，若，则（       ）
A．2020 B． C．4045 D．
【解析】因为是R上的奇函数，所以，
所以，得，所以当时，，
所以.故选：D
6．函数满足，，函数的图象关于点对称，则（       ）
A．-8 B．0 C．-4 D．-2
【解析】∵关于对称，∴关于对称，即是奇函数，
令得，，即，解得．
∴，即，
∴，即函数的周期是4．∴．故选：B.
7．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________.
【解析】由题意得：，即①，②，
②-①得：，解得：.
8．设函数，若，则_____________．
【解析】函数的定义域为，令，
则，即，所以为奇函数；
因为，所以，则，
所以.
9．