人教高中数学专题9-2 圆锥曲线（解答题）(解析版）.docx

专题9-2圆锥曲线（解答题）
目录
专题9-2圆锥曲线（解答题） 1
1
题型一：中点弦问题 1
题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题 7
题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题 17
题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题 25
题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题 35
题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题 44
53
题型一：中点弦问题
【典例分析】
例题1．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知椭圆经过点．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于、两点，且弦的中点为，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意可得，故椭圆的标准方程为．
（2）解：，所以，点在椭圆内，
若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，
设点、，由题意可得，
则，两式相减，得．
即，所以直线的斜率．
例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知过点的直线与曲线相交于两点，，请问点能否为线段的中点，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析.
【详解】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是
则
等式两边平方可得：
化简得曲线C的方程为：
（2）解：点不能为线段的中点，理由如下：
由（1）知，曲线C的方程为：
过点的直线斜率为，，
因为过点的直线与曲线C相交于两点，
所以，两式作差并化简得：①
当为的中点时，则，②
将②代入①可得：
此时过点的直线方程为：
将直线方程与曲线C方程联立得：
，
，无解
与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾
所以点不能为线段的中点
【提分秘籍】
中点弦问题常用方法：
①点差法（回代检验）
②联立，借助韦达定理.
【变式演练】
1．（2022·高二课时练****已知：椭圆，求：
（1）以为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设弦的端点，，
可得：， ，
相减可得：，
把，， 代入可得： ．
∴以为中点的弦所在直线的方程为：，化为： ．
（2）设直线方程为：，弦的端点， ，中点．
联立，化为 ，
，化为： ，
∴，化为： ．
得，
∴
2．（2022春·广西·高二校联考阶段练****已知直线，圆：
，双曲线：．
(1)直线与圆有公共点，求的取值范围；
(2)若直线与交于，两点，且点为的中点，若存在，求出方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由已知得，圆：，∴圆心，半径，
∵与圆有交点，
则圆心到的距离，
整理可得，，
解得，．
（2）设存在直线，由题意可知，直线斜率不存在时不成立.
设、，
因为是的中点，所以，．
又，在双曲线上，所以，
两式相减得，
整理可得，，
又，∴，∴，
∴方程为，经检验，该直线与双曲线交于两点.
但不在上，
∴不存在这样的直线．
3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练****已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为的倾斜角为，，
所以直线的方程为，
联立可得，
设，则，
所以；
（2）设，则，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以的斜率为，
所以的方程为，即.
题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 中， 已知椭圆，椭圆.设点为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）设 ​， 由题意知​.
因为 ​， 又​， 即​， 所以​，
即 ​.
（2）由(1)知，的​面积为​，
设 ​.
将 ​代入椭圆​的方程， 可得​，
由 ​， 可得​，①
则有 ​. 所以​.
因为直线 ​与​轴交点的坐标为​，
所以​的面积​
​.
设 ​， 将​代入椭圆​的方程，
可得 ​，
由 ​， 可得​，②
由 (1)(2)可知 ​， 因此​， 故​， 当
且仅当 ​， 即​时取得最大值​.
所以面积的最大值为​.
例题2．（2022春·