人教专题1.5 不等关系与不等式性质-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题1.5 不等关系与不等式性质-重难点题型精讲
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法，(a，b∈R)；
(2)作商法，(a∈R，b>0).
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac<bc
同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
【题型1 判断不等式是否成立】
【方法点拨】
(1)逐一给出推理判断或举反例说明．
(2)结合不等式的性质、对数函数、指数函数的性质等进行判断．
【例1】（2022•顺义区校级模拟）若非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．1a＞1b B．a+b＞2ab C．lga2＞lgb2 D．a3＞b3
【解题思路】根据不等式基本性质，用特值法判断ABC，用函数单调性判断D．
【解答过程】解：对于A，因为当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但1a＞1b不成立，所以A错；
对于B，因为当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a+b＝﹣3，2ab=22＞0，所以a+b＞2ab不成立，所以B错；
对于C，因为当a＝﹣1，b＝﹣10时，满足a＞b，但lga2＝0，lgb2＝2，所以lga2＞lgb2不成立，所以C错；
对于D，因为y＝x3是单调递增函数，所以a＞b⇒a3＞b3，所以D对．
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．1a＜1b B．ab＜b2 C．ab＞a2 D．−1a＜−1b
【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答过程】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜0，即1a＞1b，选项A错误；
因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；
因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；
因为a＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以−1b＞−1a，即−1a＜−1b，选项D正确．
故选：D．
【变式1-2】（2022春•海淀区期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．1a＜1b B．a2＜b2 C．ab＜1 D．ab＞b2
【解题思路】运用不等式的性质直接求解．
【解答过程】解：选项A，∵a＜b＜0，∴1a＞1b，选项A错误；
选项B，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，a2＞b2，选项B错误；
选项C，∵a＜b＜0，∴ab＞1，选项C错误；
选项D，∵a＜b＜0，∴ab＞b2，选项D正确．
故：选D．
答案为：D．
【变式1-3】（2022春•巴中期末）若b＜a＜0，则下列不等式中成立的是（　　）
A．1b＜1a B．ab+ba＞2
C．b2＜a2 D．ln（﹣b）＜ln（﹣a）
【解题思路】取a＝﹣1，b＝﹣2说明A、C、D不成立，由基本不等式说明B正确即