人教专题1.8 基本不等式-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题1.8 基本不等式-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则x−1y的最小值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．−2 D．−3
【解题思路】先得到x+2＞0，x−1y=x+1x+2，再利用配凑法和基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵负实数x，y满足x+y＝﹣2，
∴y＝﹣x﹣2＜0，∴x＞﹣2，∴x+2＞0，
∴x−1y=x+1x+2=x+2+1x+2−2≥21−2＝0，
当且仅当x+2=1x+2，即x＝﹣1时取等号，
∴x−1y=x+2+1x+2−2≥0，
∴x−1y的最小值为0，
故选：A．
2．（5分）（2022春•丹东期末）若x＞1，则函数y=x+2x+2x−1的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
【解题思路】利用配凑法，再结合基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴函数y=x+2x+2x−1=x+2x−2+4x−1
＝x+4x−1+2＝x﹣1+4x−1+3≥24+3＝7，
当且仅当x﹣1=4x−1，即x＝3时取等号，
∴y=x+2x+2x−1的最小值为7，
故选：C．
3．（5分）（2022春•运城期末）已知x，y∈R，且（x+2）（y+1）＝4，则下列一定正确的为（　　）
A．x2+y2+4x+2y≥3 B．2x+3y+xy≥3
C．ex+1+ey≥2e D．xy≤2﹣23
【解题思路】举反例x＝﹣6，y＝﹣2可判断选项B、C、D，化简x2+y2+4x+2y＝（x+2）2+（y+1）2﹣5，从而判断选项A．
【解答过程】解：当x＝﹣6，y＝﹣2时，
（x+2）（y+1）＝4成立，
但2x+3y+xy＝﹣6＜3，
ex+1+ey＝e﹣5+e﹣2＜2e，
xy＝12＞2﹣23，
故选项B、C、D错误；
x2+y2+4x+2y＝（x+2）2+（y+1）2﹣5
≥2（x+2）（y+1）﹣5＝3，
当且仅当x+2＝y+1时，等号成立，
故选项A正确；
故选：A．
4．（5分）（2022春•长治期末）已知正数a，b满足a2−2a+2+1=a+2b+4b2+1，则1a+2b的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】利用题中的条件构造函数f（x）＝x+x2+1，即可解出a与b的关系，利用1的变形，即可解出．
【解答过程】解：由a2−2a+2+1=a+2b+4b2+1，
∴(1−a)2+1+1−a=2b+(2b)2+1，
令函数f(x)=x2+1+x，f′（x）=x2+1+xx2+1＞0，
则函数f（x）单调递增，
∴1﹣a＝2b，得a+2b＝1，
∴1a+2b=（a+2b）（1a+2b）=2ba+2ab+5≥22ba×2ab+5＝9，
当且仅当a=b=13时取等号．
故选：C．
5．（5分）（2021春•陕西校级期末）把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为（　　）
A．3cm2 B．23cm2 C．32cm2 D．4cm2
【解题思路】把长为12cm的细铁丝截成两段，设其中一段为x，则另一段为12﹣x．则这两个正三角形面积之和=34(x3)2+34(12−x3)2，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答过程】解：把长为12cm的细铁丝截成两段，设其中一段为x，则另一段为12﹣x．
则这两个正三角形面积之和=34(x3)2+34(12−x3)2
=336[x2+（12﹣x）2]≥336×(x+12−x)22=23．当且仅当x＝6时取等号．
∴这两个正三角形面积之和的最小值为23cm2．
故选：B．
6．（5分）（2021秋•怀仁市期末）若两个正实数x，y满足1x+4xy2=2，且不等式x+y24x＜m2−m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（2+∞）
【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质，求出x+y24x的最小值，然后求出实数m的取值范围．
【解答过程】解：∵两个正实数x，y满足1x+4xy2=2，
∴x+y24x=12（x+y24x）（1x+4xy2）=12（2+4x2y2+y24x2）≥2（2+2）＝2，
当且仅当4x2y2=y24x2且1x+4xy2=2，即x＝1，y＝2时取等号，
∵不等式x+y24x＜m2−m有解，∴m2﹣m＞2，
解不等式可得m＞2或m＜﹣1．
故选：D．
7．（5分）（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy