人教专题2.2 基本不等式及其应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（练）解析版.docx

专题2.2 基本不等式及其应用
练基础
1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（ ）
A．最大值是 B．最大值是
C．最小值是 D．最小值是
【答案】B
【解析】
由题意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
因为，所以，
所以，等号成立当且仅当.
故选：B.
2．（2021·山东高三其他模拟）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
取可得由推不出，反过来，由基本不等式可得由能推出，然后可选出答案.
【详解】
取，则，但，所以由推不出，
反过来，若，则，当且仅当时取等号，
所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积是 ，则的三个内角大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由的面积是，利用面积公式及基本不等式判断出，由b=c得.
【详解】
因为，所以（当且仅当b=c时取等号）.
而的面积是,
所以，即，所以，
因为A为三角形内角，所以.
又因为b=c，所以.
故选：B
4．（2021·浙江高三月考）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】
由，令，
因此，因为，所以，
因此的最小值是，
故选：D
5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.
【详解】
因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，
所以年平均利润
当且仅当时等号成立，
即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，
故选：D
6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.
【详解】
对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，
又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：
对于C，由，，利用基本不等式，
变形得（当且仅当时，等号成立），解得，
即，故C正确；
对于D，由，，利用基本不等式化简
得（当且仅当时，等号成立），
解得，故D错误；
故选：BC
8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误.
【详解】
A：由，又，得，所以，正确；
B：由，当时有，此时，错误；
C：由，所以，正确；
D：由，所以，正确.
故选：
9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知，且，则下列不等式正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
利用基本不等式证明判断．
【详解】
因为，
，当且仅当时等号成立，所以，A正确；
由得，，同理，
，当且仅当，即时等号成立，B正确；
满足题意，但，C错；
由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．
故选：ABD
10．（2021·天津高三二模）已知正实数，满足，则的最小值为______．
【答案】10
【解析】
先把整理为，对，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.
【详解】
∵正实数，满足，
∴（当且仅当，即时取等号）
∴.
故答案为：10.
练提升