人教专题2.18 函数与方程-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.18 函数与方程-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•湖北月考）已知函数f（x）在区间[﹣2，2]上有定义，则“f（x）在区间[﹣2，2]上有零点”是“f（﹣2）•f（2）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用特例法结合充要条件的定义判断即可得出结论．
【解答过程】解：函数f（x）在区间[﹣2，2]上有定义，
若函数在区间[﹣2，2]上有零点，不妨设f（x）＝x²，则f（﹣2）•f（2）＞0，
即函数在区间[﹣2，2]上有零点，得不到f（﹣2）•f（2）＜0；
另一方面，若f（﹣2）•f（2）＜0，不妨取f（x）=−1，−2＜x＜01，0＜x＜2，
则函数在[﹣2，2]上无零点，即f（﹣2）•f（2）＜0得不到函数在区间[﹣2，2]上有零点，
故“f（x）在区间[﹣2，2]上有零点”是“f（﹣2）•f（2）＜0”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
2．（5分）（2020秋•青铜峡市校级期末）已知函数f（x）=1x−log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【解题思路】首先判断函数f（x）=1x−log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．
【解答过程】解：易知函数f（x）=1x−log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；
f（1）＝1﹣0＝1＞0，f（2）=12−1=−12＜0；
故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；
故选：B．
3．（5分）（2022•郏县校级开学）函数f（x）=xln(x+1)，x＞02x2−3x−2，x≤0的零点个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解题思路】由f（x）＝0，然后结合分段函数的解析式即可求解．
【解答过程】解：当x＞0时，由f（x）＝xln（x+1）＝0可得x＝0（舍），
当x≤0时，由f（x）＝2x2﹣3x﹣2＝0可得，x＝2（舍）或x=−12，
综上可得，x=−12．
故选：C．
4．（5分）（2021秋•碑林区校级月考）已知函数f（x）＝2x+x，g（x）＝log2x+x，h（x）＝x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的顺序为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【解题思路】将函数的零点转化成两图象交点的横坐标，再数形结合即可求解．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝2x+x，g（x）＝log2x+x，h（x）＝x3+x的零点分别为a，b，c，
∴y＝﹣x与三个函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3的交点横坐标分别为a，b，c，
作出图象如下：
数形结合可得：a＜c＜b，
故选：B．
5．（5分）（2022•湖北模拟）函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点x1，x2（x1＜x2），下列说法错误的是（　　）
A．0＜a＜1 B．x1x2＞1a
C．x2−x1＞1a−1 D．x1+x2＜2a
【解题思路】先将问题转化为y＝a与y=lnx+1x有两个交点，数形结合，根据选项进行判断即可．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点x1，x2（x1＜x2），
∴lnx﹣ax+1＝0有两个根，∴a=lnx+1x，
∴y＝a与y=lnx+1x有两个交点，如图，
设g（x）=lnx+1x（x＞0），∴g'(x)=−lnxx2，
当g′（x）＞0时，解得0＜x＜1，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，解得x＞1，函数g（x）单调递减，
∴g（x）max＝g（1）＝1，当x→+∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→﹣∞，
∴当0＜a＜1时，y＝a与y=lnx+1x有两个交点，
即函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点，故A正确；
结合图象可知1e＜x1＜1＜x2，
∵lnx1−ax1+1=0lnx2−ax2+1=0，∴a=lnx1−lnx2x1−x2，
要证明x1+x2＜2a，即证明（x1+x2）lnx1−lnx2x1−x2＜2，
整理得x1x2+1x1x2−1lnx1x2＜2（0＜x1x2＜1），
令t=x1x2，则lnt＞2(t−1)t+1（0＜t＜1），
设g（t）＝lnt−2(t−1)t+1（0＜t＜1），
∴g′（t）=(t−1)2t(t+1)2＞0，（0＜t＜1）恒成立，∴g（t）在（0，1）单调递增，
∴g（t）＞g（1）＝0，即lnt＞2(t−1)t+1（0＜t＜1），故D正确；