人教专题2.19 函数模型及其应用-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.19 函数模型及其应用-重难点题型精讲
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
4．指数、对数函数模型的应用
指数、对数函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
5．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
6．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,
]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化】
【方法点拨】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不
符合实际的情况，选出符合实际的情况.
【例1】（2021秋•邹城市期中）甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步；乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车的速度均大于跑步的速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下：
则上述四个函数图象中，甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是（　　）
A．图①、图② B．图①、图④ C．图③、图② D．图③、图④
【解题思路】先研究两个人赶往B地的速度变化规律，然后对照四个函数图象的变化特点得答案．
【解答过程】解：甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，可知甲前半程的速度大于后半程的速度，则前半程图线的斜率大于后半程图线的斜率；
乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，可知乙前半程的速度小于后半程的速度，则前半程图线的斜率小于后半程图线的斜率；
又甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，可知甲前半程图线的斜率大于乙后半程图线的斜率．
∴甲是图①、乙是图④．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•东乡县校级期中）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为803千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】本题主要考查了函数图象上特殊点的实际意义，根据图象上的特殊点的实际意义即可作出判断．
【解答过程】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错；
从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2﹣1.5＝0.5小时，②对；
汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为；240÷4.5=1603千米/时，③错．
汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错．
故选：A．
【变式1-2】如图，l1反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台）之间的关系，l2反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台）之间的关系．当销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始盈利．根据图象，则下列判断中错误的是（　　）
A．当销售量为4台时，该公司盈利4万元
B．当销售量多于4台时，该公司才开始盈利
C．当销售