人教专题4.4 导数的综合应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题4.4 导数的综合应用
新课程考试要求
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模（例9.10）、直观想象（例3）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；
（2）适度关注生活中的优化问题.
【知识清单】
1．利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.
2．与函数零点有关的参数范围问题
（1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）求极值的步骤：
①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.
（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
3．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
4．利用导数证明、解不等式问题
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
【考点分类剖析】
考点一 ：利用导数研究函数的零点或零点个数
【典例1】（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知函数
（1）当时，求图象在点处的切线方程；
（2）当且时，证明有且仅有两个零点.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【解析】
（1）当时，代入，求导，根据导数几何意义即切线斜率，求得切线方程；
（2）通过二次求导判断导函数的单调性，进而求得原函数单调性，从而解决零点个数问题.
【详解】
（1）当时，
则，
则，又
则图象在点处的切线方程为；
（2）由
则恒成立，单调递增；
又；，
则必然存在一点，使得，且，，单减，，，单增，即，
则，
故若有且仅有两个零点，则，只需最小值点不在处取得即可，
即，即，
故当且时，有且仅有两个零点.
【典例2】（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数,为的导函数.
(1)求证:在上存在唯一零点;
(2)求证:有且仅有两个不同的零点.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)设，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，
所以在上有唯一的零点，所以命题得证．
(2) ①由(1)知：当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以在上恰有一个零点．
又因为
所以在上也恰有一个零点．
②当时，，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．
③当时，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．
【方法技巧】
利用导数研究函数零点或方程根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．
(2)数形结合法求解零点．
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．
(3)构造函数法研究函数零点．
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体