人教专题4.4 导数的综合应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题4.4 导数的综合应用
练基础
1．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意恒成立，则当取最大值时，实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
不等式对任意恒成立，化为不等式对任意恒成立，必然有．令，化为：．令，．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论．
【详解】
解：不等式对任意恒成立，
则不等式对任意恒成立，
则．
令，则，化为：．
令，．
不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，
令，则，可得：时，函数取得极大值即最大值，，
满足题意．
可以验证其他值不成立．
故选：C．
2．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数零点即方程的解，（），取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．
【详解】
显然，有两个零点，即方程，在上有两个解，
两边取对数得到，令，，在单调递增，在单调递减，
又当时，，当时，，
因为有两个零点，则，
解得.所以正数的取值范围是.
故选：C．
3．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数，，又当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
首先根据求出，进而参变分离解决恒成立的问题即可.
【详解】
因为，所以，即，
所以当时，恒成立，即，
即，
当时，恒成立，符合题意；
当时，有，即，
令，则，所以在上单调递增，而，所以，
故选：A.
4．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）
C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}
【答案】D
【解析】
利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出；结合题意得出在有且仅有1个解，计算的值即可.
【详解】
当时，
则
令，解得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，故在定义域上恒成立，
由有且只有2个实数根，
得方程有2个解，
又，所以，
则在有且仅有1个解，
因为，则或，
所以或，
即实数的取值范围是，
故选：D
5．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））平行于轴的直线与函数的图像交于两点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可.
【详解】
根据题意，画出的图象如下所示：
令，，故可得，解得；，解得.
故可得，，
故，，
故可得，恒成立，
故是单调递增函数，且，
关于在成立，在成立，
故在单调递减，在单调递增，
故.
即的最小值为.
故选：D
6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
参变分离可得，研究函数，根据导函数
以及，可得函数的极大值为，当，，所以，根据的最大值的范围即可得解.
【详解】
由，得，
令，
则，当时，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，极小值为，
且时，，所以，由，
得，由恒成立，得，
故选：D．
7．【多选题】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
【答案】ACD
【解析】
由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】
因为对于任意，都有，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又，令，得(*)，
因为，，所以方程(*)无实数解，
即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.
若为增函数，则大于等于0，
即，，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确.
令，得或().设，
则，令，
则.当时，，
当时，，当时，，
所以函数为增函数，且，所以当时，，
从而，单调递增.又因为对于任意，都有，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
综上，在上单调递减，在上单调递增，
则直线与