人教专题5.4 三角恒等变换 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题5.4 三角恒等变换
新课程考试要求
1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.
2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析等.
高考预测
（1）和（差）角公式：结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题
（2）二倍角公式与同角公式综合考查，重点解决三角函数求值问题；
（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.
（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.
【知识清单】
知识点1．两角和与差的三角函数公式
（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
T(α－β)：tan(α－β)＝.
（2）变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
（3）辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) .
知识点2．二倍角公式
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝.
（2）变形公式：
cos2α＝，sin2α＝
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
【考点分类剖析】
考点一 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例1】（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后根据位置关系判断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.
【详解】
由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，
又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由角的终边经过点，得，
因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，
所以
，
故选：.
【典例3】【多选题】（2020·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为，
由，，
因为，所以，，
由题意可得，，得，，
因为，所以或.
故选：BC.
【规律方法】
1.三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
3.给值求角问题，解题的一般步骤是：
(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；
(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；
(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．
【变式探究】
1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射