人教专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）.docx

专题06 三角函数及解三角形
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得.
所以函数最小正周期为
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或(舍去)，
又.
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则
A．cos2α>0 B．cos2α<0
C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，
故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，
可得 ，即，
由，
故.
故选：A．
5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2 B．–1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A．
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC．
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
9．【2020年高考全国III卷理数】16.关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是____