人教专题6.3 平面向量的应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题6.3 平面向量的应用
练基础
1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
【答案】B
【解析】
取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案
【详解】
解：取的中点，连接，并延长到，使，
因为为等边三角形，所以，
所以,
因为，
所以,
因为等边的边长为，
所以，
要使取得最大值，则与共线且同向，
所以的最大值为，
故选：B
2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（ ）
A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．
【答案】D
【解析】
利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.
【详解】
由题意，在中，，
利用向量的数量积的定义可知，即
即，
即，
设，
解得，所以，
所以由正弦定理可得.
故选:D.
3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A． B．为锐角三角形
C． D．
【答案】ACD
【解析】
画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误
【详解】
解：
，所以，故A正确；
若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；
而，故C正确
由余弦定理有
故有，故D正确
故选：ACD．
4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
根据垂径定理先求出，再求即可.
【详解】
令，则，所以（舍）或，
所以，
所以.
故选：BD.
5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积.
【详解】
因为，所以.
设，则，
在中，由余弦定理可得，解得，
所以.
故答案为：.
6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
取，，作，
为内（包含边界）的一动点且，
根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.
在中，，
，，
，，
即的最大值为.
故答案为：.
7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由条件得，代入坐标形式进行运算，得到，从而求得范围.
【详解】
设点，由条件可知，，设向量与的夹角为，由得
，即，
因为是非零向量，所以，于是，
因为，所以，所以的取值范围是．
故答案为：
8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
将条件转化，然后用数形结合求解.
【详解】
设，，，则，，
依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.
其半径，为点到直线的距离，
显然，当运动到点处时，有最大值.
故答案为：.
9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.
【答案】证明见解析.
【解析】
结合向量的数量积即可证明.
【详解】
如图，设，则，
①-②得：，即
故，即，又
所以，，三点共线，
所以，，相较于一点.
10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．
（2）若水流的速