人教专题7.6 数学归纳法 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题7.6 数学归纳法
新课程考试要求
1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.
考向预测
1.数学归纳法原理；
2．数学归纳法的简单应用.
3．利用数学归纳法证明数列相关问题.
【知识清单】
知识点一．数学归纳法
1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2.数学归纳法的框图表示
【考点分类剖析】
考点一 利用数学归纳法证明不等式
【典例1】（2021·浙江高三专题练****已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；
（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.
【详解】
（1）由，是，的等差中项，
可得，即，即，解得或，
又因为，所以，
又由，所以，
因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，所以.
（2）先用数学归纳法证明当，，
①当时，，左式>右式，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，
可得，不等式也成立.
由①②得证当，，
所以.
【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.
(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；
(2)求证:.
【答案】(1) ;猜想;(2)证明见解析
【解析】
(1)
猜想
(2)
所以
(2)方法二用数学归纳法证明:
(1)当时，左边，右边，
左边右边，不等式成立；
(2)假设时，不等式成立，即，
那么当时，只要证明成立，
只要证明
即证
只要证明
即证，即证
只要证明，显然成立，
所以时不等式也成立.
综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.
【例3】（2021·全国高三专题练****已知函数，，对于任意的，都有.
（1）求的取值范围
（2）若，证明：()
（3）在（2）的条件下，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；
（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明
()；
（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.
【详解】
（1）由题得，
恒成立
，故：
（2）
当时，
函数在(1，)上是单调递增函数.
下面用数学归纳法证明：
①当时，由得成立.
②假设当时，结论成立.即：
那么当时
这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时成立
（3）且
令，则在上递增
由（2）知：
又
左边
【总结提升】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化
【变式探究】
1. （2021·浙江高三专题练****已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
（I）用数学归纳法可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证；
（Ⅲ）由及，递推可得.
【详解】
（Ⅰ）用数学归纳法证明：．
当时，．
假设时，，那么时，若，
则，矛盾，故．
因此，所以，因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，
，
函数在上单调递增，所以，
因此，故．
（Ⅲ）因为，所以，
由，得，
所以，故．
综上，．
2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是