人教专题12 不等式选讲——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解析）.docx

专题12 不等式选讲
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数．
(1)画出的图像；
(2)求不等式的解集．
【解析】(1)由题设知
的图像如图所示．
(2)函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像．
的图像与的图像的交点坐标为．
由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，
故不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．
(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．
【解析】(1)当时，
因此，不等式的解集为．
(2)因为，故当，即时，．所以当a≥3或a≤-1时，．
当-1<a<3时，，
所以a的取值范围是．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a，b，c∈R， a+b+c=0，abc=1．
(1)证明：ab+bc+ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【解析】(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以
.
(2)不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
4．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
设，解不等式．
【解析】当x>0时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
1．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】已知函数.
(1)解不等式；
(2)当，时，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)由得，
当时，得，所以；
当时，得，所以；
当时，得，所以；
综上，此不等式的解集为：；
(2)由 ，
由绝对值不等式得，
又因为同号，所以，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以.
【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】设a、b、c均为正数，
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，证明.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】(Ⅰ)因为，，均为正数，由重要不等式可得
，，，
以上三式相加可得，
即；
(Ⅱ)因为，由(Ⅰ)可知，
故，
所以得证．
【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．
3．【2020·四川省泸县第二中学高三二模】已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为
从图可知满足不等式的解集为.
(2)由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.
4．【2020·辽宁省高三三模】设函数．
(1)解不等式；
(2)若最小值为，实数、满足，求的最小值．
【答案】(1)或；(2)．
【解析】(1)，
由得或或，
得或或，∴不等式解集或．
(2)根据图象知：，∴，
所求可看做点到直线的距离的平方，．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.
5．【2020·山西省高三其他】已知函数，.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，得，
平方得，
得，
得，
得，
解得或.
故不等式的解集是.
(2)若恒成立，即恒成立.
只需即可.
而，
所以，得，
解得.
故实数的取值范围是：.
【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法、含参不等式的恒成立问题，考察了数学运算技能和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一