人教高中数学专题08 公式法求等差等比数列和(解析版).docx

专题08 公式法求等差等比数列和
一、单选题
1．已知等差数列，其前项的和为，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.
【详解】
由等差数列的性质，可得，则
故选：B
2．已知等比数列的前项和为，若，且数列也为等比数列，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设等比数列的公比为，当时，，该式可以为0，不是等比数列，当时，，若是等比数列,则，可得，利用，可以求得的值，进而可得的表达式
【详解】
设等比数列的公比为
当时，，所以，
当时，上式为0，所以不是等比数列.
当时，，
所以，
要使数列为等比数列，则需，解得.
，，
故.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若是等比数列，则，即可求得的值，通项即可求出.
3．已知数列的前n项和，则（ ）
A．350 B．351 C．674 D．675
【答案】A
【分析】
先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.
【详解】
当时，；
当时，.
不适合上式，
.
因此，；
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.
4．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差，由此求得的前项的和.
【详解】
设等差数列的公差为，由、、成等比数列可得，
即，整理可得，又公差不为0，则，
故前项的和为.
故选：A
5．等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ）
A．160 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【分析】
把已知的两式相加得到，再求得解.
【详解】
由题得，
所以.
所以.
故选：B
6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】
利用等差数列性质得到，，再利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为，
则，故，，故，
则.
故选：B.
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ）
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里
【答案】D
【分析】
由题意得每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．
【详解】
由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，
解得，此人第二天走里，
第二天走了96里，
故选：D．
8．设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．45 B．50 C．60 D．80
【答案】C
【分析】
利用等差数列性质当 时及前项和公式得解
【详解】
是等差数列，，，
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前项和公式，属于基础题
9．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由利用，得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，进而得到是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到，，将恒成立，转化为对恒成立，再分为偶数和为奇数讨论求解.
【详解】
当时，，得；
当时，由，
得，
两式相减得，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
因为，
所以.
又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，
由，得，
所以，
所以.
又，所以，
所以，
即对恒成立，
当为偶数时，，
所以，
令，则数列是递增数列，
所以；
当为奇数时，，
所以，
所以，
所以.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关