人教高中数学专题09 三角函数与三角恒等变换（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题 09 三角函数与三角恒等变换（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题）若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
2.（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
3．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题.
2 .三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，研究三角函数的最值、范围问题.
3.三角函数、三角恒等变换等，考查方式有两种，即独立考查与综合考查，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 三角恒等变换
【核心知识】
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
3．两角和与差的三角函数公式
（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
T(α－β)：tan(α－β)＝.
（2）变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
（3）辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) .
4．二倍角公式
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝.
（2）变形公式：
cos2α＝，sin2α＝
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
【典例分析】
典例1.（2021·全国·高考真题（文））若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
典例2.（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】         
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
典例3.（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______．
【答案】         
【分析】利用二倍角