人教高中数学专题09 数列不等式的证明与求解参数(解析版).docx

专题09 数列不等式的证明与求解参数
◆题型一:数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.
【经典例题1】已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：由题意，，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，
所以；
(2)解：由（1）知，
所以数列的前n项和为，①
，②
①② 得，
所以，
又因为，所以，
所以.
【经典例题2】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，； (2)证明见解析
【解析】
(1)由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
(2)由（1）可得，
则
，
故成立．
【经典例题3】已知数列前项和为，若，且成等差数列．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【解析】
(1)，                                        
因为成等差数列，所以，                              
所以，且，                                     
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）知.                                           
.                                     
一方面，；另一方面，，是递增数列，所以.综上所述，.
总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练****的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型.
【经典例题4】等差数列前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．
【答案】(1) (2)7
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，首项为，则，解得，
所以数列的通项公式为．
（2），
，
由题得，解得，
因为，所以n的最小值是7．
【练****1】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)证明:
【答案】(1)；. (2) (3)见解析
【解析】
(1)∵等差数列中，前三项分别为，，，
∴，解得，
∴首项，公差．
∵，
化为：．
解得．
(2)由（1）可得：，
∴，
∴．
∴
(3)因为，而，所以.
【练****2】已知数列{}的前项和为，，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.证明：
【答案】(1)； (2)证明见解析.
【解析】
(1)当时，，又，则，
当时，，解得，
故是首项为，公比为的等比数列，则；
(2)因为，则，
故，又，
所以，即，又是单调递增数列，则
综上，.
【练****3】已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)对任意的正整数n，有，求证：．
【答案】(1)， (2)证明见解析
【解析】
(1)解：∵①，∴令，可得，
又②，由①-②得，
∴，
∴，
∴数列为以为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，，解得d＝1，
∴；
(2)证明：，
∴．
【练****4】已知数列的前n项和为，，，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析
【解析】
(1)解：当时，由可变形为，
即，即，所以，
又因为，，可得，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为.
(2)解：由，可得，
所以
，
因为，所以，即，
又因为，单调递增，
所以，所以.
◆题型二:数列不等式求解参数
方法解密:
对于此类含