人教高中数学专题13 利用导数证明或求函数的单调区间(解析版).docx

专题13 利用导数证明或求函数的单调区间
一、多选题
1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．设函数的导函数为，则（ ）
A． B．是的极值点
C．存在零点 D．在单调递增
【答案】AD
【分析】
求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．
【详解】
由题可知的定义域为，
对于A，，则，故A正确；
对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；
对于C，，故函数不存在零点，故C错误．
故选：AD．
3．已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．若，则
C．在区间上的值域为
D．若函数，且，在上单调递减
【答案】ACD
【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A：当时，可得，可得在区间上单调递减；当，可得，可得在区间上单调递减，最后作出判断；
对于选项B：由在区间上单调递减可得，可得，进而作出判断；
对于选项C：由三角函数线可知，所以，，进而作出判断；
对于选项D：，可得，然后利用导数研究函数在区间上的单调性，可得，进而可得出函数在上的单调性，最后作出判断.
【详解】
， ，
当时，，由三角函数线可知，
所以，即，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
当，，，所以，，
所以在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故选项A正确；
当时，，
所以，即，故选项B错误；
由三角函数线可知，所以，，
所以当时，，故选项C正确；
对进行求导可得：
所以有，
所以，所以在区间上的值域为，
所以，在区间上单调递增，因为，
从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
4．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】BD
【分析】
本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.
【详解】
函数的定义域为，
当时，，；
当时，，，
A项：，，
则曲线在处的切线方程为，即，A错误；
B项：当时，，函数是减函数，
当时，，函数是减函数，
因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；
C项：由函数的单调性易知，C错误；
D项：当、时，
因为，
所以，
因为在上为减函数，所以，，
同理可证得当、时命题也成立，D正确，
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
【答案】AC
【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
对于A，当时，，，
因为时，，即，所以在上单调