人教高中数学专题13 数列的通项与数列的求和（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题 13 数列的通项与数列的求和（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：，则数列的前项和为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为，根据题意结合分组求和运算求解.
【详解】∵，
由题意可得：数列的前项和为，
又∵，
∴数列的前项和
.
故选：A.
2．（2022秋·浙江金华·高三期末）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（    ） （注： 或或或的区间长度均为）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，可得第次操作剩余区间的长度和，即可得解.
【详解】解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为，
第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以；
设定义区间为，则区间长度为1，
所以第次操作剩余区间的长度和为，
则去掉的区间长度和为.
故选：B
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中，，，且数列是第二项为的等差数列.若以为坐标原点，以，分别为，轴正方向建立平面直角坐标系，则直线的斜率为（    ）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】A
【分析】根据数列是第二项为的等差数列可得，令，则根据题干可得：，再根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意可知：，令，，因为，
所以，
因为数列是第二项为的等差数列，
设公差为，则，因为，所以，
同理
则直线的斜率，
故选：.
4．（2022秋·北京·高三统考阶段练****杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（    ）
A．350 B．295 C．285 D．230
【答案】C
【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可
【详解】记此数列的前20项的和为，则，
故选：C.
二、多选题
5．（2022秋·吉林·高三东北师大附中校考阶段练****十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，则依此规则，下列结论正确的有（    ）
A． B．该等比数列的公比为
C．插入的第9个数是插入的第5个数的倍 D．
【答案】CD
【分析】首先根据题意求出等比数列的公比以及，可以判断BCD，再利用不等式证明A即可说明A错误.
【详解】由题意知，该数成等比数列记为，公比记为，则，，由等比数列性质可知，解得，故B错误； 记插入的11个数之和为M，则，则D正确；因为，则插入的第9个数是，插入的第5个数为，则，故C正确；对于A，若，则，化简得
，即，即，但，故A错误.
故选：CD
三、填空题
6．（2022秋·湖北·高三校联考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”