人教高中数学专题16 利用导数研究双变量问题（解析版）.docx

专题16 利用导数研究双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
一、单选题
1．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设，可得，可得，
令，则，
所以，函数在上为增函数，
对任意的恒成立，所以，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，.故选：B.
2．已知函数，若且满足，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意时，是减函数，且，
时，是减函数，且，
由且得，，，，
，所以，，
设，，
时，，是增函数，所以，即，
所以．故选：C．
3．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】的定义域，
，令，则必有两根，
，所以，
，
，
，
当时，，递减，所以
的最小值为，故选：A.
4．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】若对于，，使成立，只需，
因为，所以，当时，，所以在上是减函数，所以函数取得最小值．因为，
当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立；
当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解；综上，实数的取值范围是，故选:A．
5．已知e为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得，成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】设，，，，
，时，，递减，时，，递增，∴，，，∴
在上是减函数，∴，
由题意，∴，即．故选：B．
6．若函数存在两个极值点和，则取值范围为（       ）
A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞)
【解析】，由函数存在两个极值点和，得，∴.
且，，∴，，
令，，∵，，所以在(2，+∞)上递减，，即，故选B.
7．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，
令，所以，对函数求导：
，   由有：，
由有：，所以在单调递增，在
单调递减，因为，由有：，故A错误；
因为，所以，由有：，故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 有：
=，当，.所以
在单调递增，当时，，
即，又，所以，
因为，所以，因为在
内单调递减，所以，即，故B错误.
故选：C.
8．已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，，令，
则，恒成立，即恒成立，即
，令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减.
，
令，
令，即在单调递增；令，即在单调递减；
，，故选：B
9．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题得函数的导数.
由题意可得（，且）.即有，
化为，而，∴，
化为对都成立，令，，
，对恒成立，即在递增，
∴，∴，∴，即的取值范围是.故选：B.
10．已知，其中a≠b，若恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】令，则，
故当时，，当时，，而，
不妨设，则；两式相减，可得，
则，，，∴；
令,
设，则；
令，则，
∴函数在上单调递减，故，则，
故函数在上单调递减，故，即，
∴函数在上单调递减，
∴，即，即，故，故实数的取值范围为.
故选：C.
11．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，，；
当时，，，
综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.令.
.令，
，令.时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.故选：.
二、多选题
12．已知函数和，若，则（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即