人教高中数学专题22 计数原理（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题22 计数原理（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高三统考期末）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（    ）
A．4种 B．6种 C．21种 D．35种
【答案】B
【分析】元素相同问题用隔板法.
【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种.
故选：.
2．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（    ）
A．150 B．90 C．60 D．15
【答案】B
【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可求出.
【详解】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法，
则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法，
则这5人观看比赛的方案种数为90种，
故选：B
3．（2023秋·浙江·高三期末）二项式的展开式中的常数项是（    ）
A． B．15 C．20 D．
【答案】B
【分析】根据二项展开通项公式求解.
【详解】展开式通项为：，
令，常数项为．
故选：B
二、多选题
4．（2023春·云南·高三校联考开学考试）若的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．展开式中含项的系数为35 D．展开式中各项系数和为
【答案】BC
【分析】根据二项式定理的二项式系数的性质、各项系数和、展开式的某一项特点求解判断即可.
【详解】解：由已知，所以，故A选项错误，B选项正确；
展开式中含项为，故C选项正确；
令得展开式中各项系数和为0，而展开式中各项二项式系数和为，故D选项错误.
故选：BC．
三、填空题
5．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）的展开式中，常数项是______________.
【答案】
【分析】写出二项展开式的通式，令的次数为即可.
【详解】的展开式通项为，
令，得，
故常数项是．
故答案为：．
6．（2023春·浙江·高三开学考试）展开式中含项的系数为__________．
【答案】21
【分析】根据二项展开通项公式求解.
【详解】展开式的通项公式为，
令则，
所以含项为，
所以系数为21，
故答案为：21．
7．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有___________种
【答案】9
【分析】先按女生个数分类，再分别计数相加即可.
【详解】选出的人员中恰好有一名女生的选法有种，选出的人员中恰好有两名女生的选法有种，所以选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有种．
故答案为：9
8．（2023·高三课时练****在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________.
【答案】120
【分析】利用排除法结合组合数公式即得.
【详解】在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血共有选法，
选取5人全是女教师共有选法，
∴不同的选取