人教高中数学专题25 参变分离法解决导数问题(解析版).docx

专题25 参变分离法解决导数问题
一、单选题
1．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由，可得，从而，从而当时，恒成立，构造函数，可得，结合时，取得最大值1，从而的最大值为，只需即可.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出
的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解.
【详解】
由题意可得，没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令，，
则，
令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.
【详解】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间
上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据可求得，利用得到，将问题转化为，的最大值的求解问题，利用导数求得，从而求得结果.
【详解】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
5．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，进行参变分离得，设，将问题等价于y = a与在有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.
【详解】
令，即，解得，设，
所以在有两个零点等价于y = a与在有两个交点.
因为，得，所以在(0，e)上单调递增，在上单调递减，所以.
如图所示，画出的大致图象。
结合图象可知，当时， y = a与在有两个交点，即此时在有两个零点.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题.
6．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用参变量分离法可将问题转化为在上有两解，进而可将问题转化为函数与在上有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围.
【详解】
由已知可得在上有两解，
令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，
，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，实数k的取值范围为.
故选：B