人教高中数学专题26 圆锥曲线巧设直线必刷100题(解析版).docx

专题26 圆锥曲线巧设直线必刷100题
方法提示:
在圆锥曲线联立与设线的问题当中,设直线的方法比较多.常见有几下几种类型:
①
当题干中直接或者隐含直线过定点时,可设点斜式
局限性:局限性:不能表示垂直于轴的直线,需要单独讨论.
②
当题干中含有过轴上一定点时,或者在解题步骤中需要或,需要消掉,保留时,设会简化解题步骤和计算量.
局限性:不能表示垂直于轴的直线,需要单独讨论.
③,当题干中含有过轴上一定点时,或者在解题步骤中需要或,需要消掉,保留时,设会简化解题步骤和计算量.
局限性: 不能表示平行于轴的直线,需要单独讨论.
一、单选题
1．已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】
联立直线与抛物线可求出中点的坐标，由题干条件可得出，从而求出点坐标，又点在抛物线上，代入抛物线方程可求出值.
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得
，解得：.
故选：B.
2．已知弦经过抛物线的焦点，设，，则下列说法中错误的是（ ）
A．当与轴垂直时，最小
B．
C．以弦为直径的圆与直线相离
D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线焦点弦的性质依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
与轴垂直时，为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即最小，A正确；
设方程为，由得：，
，，D正确；
，，
，B正确；
中点到的距离为，
以为直径的圆与准线相切，C错误.
故选：C.
3．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直线方程为，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.
【详解】
设直线方程为，，，
联立方程组，整理得，
因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，
因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），
所以，可得，
则．
故选：C.
4．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去，利用判别式大于0和联立求得的范围．
【详解】
由消去y，整理得，
的两根为x1，x2，
∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，
∴，∴k＜﹣1，
∴.
故选：D．
5．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
设直线AB的方程为x＝y+1，联立，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点H，再利用抛物线的定义，由三点共线时求得最小值求解.
【详解】
如图所示：
由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝y+1，
联立，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1+x2＝（y1+y2）+2＝14，
所以Q（7，2），
过P作PH垂直准线于点H，
由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，
当三点共线时，等号成立，
所以|PF|+|PQ|的最小值为8，
故选：D.
6．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及直线斜率公式即可求解.
【详解】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
7．已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，直线方程为，然后抛物线标准方程与直线方程联立消，得一个关于一元二次方程，又由线段的中点的横坐标为3，得，转化为，由此即可确定的取值范围.
【详解】
解：设，直