人教高中数学专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题(解析版).docx

专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题
类型一:斜率的和与积为定值1-22题
1．已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(1)求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）（2）见解析
【详解】
(1)由题设，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．
2．已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设椭圆的焦距为2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率，再由点代入椭圆方程，根据，即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，根据题意得，设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率，
将代入，得 ，
又，解得，
所以椭圆C的方程；
（2）证明：设直线的方程为，
又，，三点不重合，∴，
设，，
则由消去 ，整理得 ，
所以，，，则 ，
设直线，的斜率分别为，，
则
所以，即直线，的斜率之和为定值.
3．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，
与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为.
（1）点在椭圆上，求的取值范围；
（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由椭圆定义求得，然后可得，从而得椭圆方程，然后设点，计算可得范围；
（2）设直线的方程为()代入椭圆方程得，设，，可得段线的中点的坐标，然后计算可得定值．
【详解】
解：（1）因为焦距，则，所以左焦点，右焦点
则
所以，所以，所以椭圆方程为.
设点，则
因为，所以的取值范围为：
（2）设直线的方程为()
联立消去得
其中：，，不妨设，，为线段的中点
则，
所以，
所以所以为定值.
4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ的面积的最大值
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）①，②是常数，理由见解析．
【分析】
（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即可求得,从而求得椭圆的标准方程；
（2）①设点、，联立，整理得：，四边形的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最大值；
②直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为常数．
【详解】
（1）设椭圆的方程为．
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由（1）可求得点、的坐标为，，则，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得：，
由，可得.
由韦达定理知：，，
四边形的面积，
故当时，；
②由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
则
.
所以的值为常数．
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若直线不过点，试问直线，的斜率之和是否为定值，若是定值求出定值，若不是定值说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）直线，的斜率之和是定值0.
【分析】
（1）由题可得出，，解出即可得出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用即可求出的取值范围；
（3）利用韦达定理可得，的斜率之和为0.
【详解】
（1）设椭圆的方程为，因为，所以，
又因为，解得，，故椭圆方程为．
（2）将代入并整理得，，解得．
（3）设直线，的斜率分别为，，
设，则，，
，
分子