人教专题05 解析几何-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（解析版）.docx

专题05 解析几何
解析几何一般作为解答题21题或者是22题形式出现。一般作为压轴题或者是次压轴题出现，难度较大。
1 与原有关问题（蒙日圆，阿氏圆等）
2 面积问题
3 齐次化解决直线定点问题
4 一般的定值问题
5 非对称问题
6 探究性问题
7 切线问题与阿基米德三角形问题
8 极点极限与调和点列，蝴蝶模型问题
9 不联立问题
10 与其他知识点交叉问题
蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：
结论一：曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．
结论二：双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．
结论三：抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
题型一： 与原有关问题（蒙日圆，协同圆等）
例题1 已知椭圆0)．称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
(1)求椭圆的方程及其“准圆”方程．
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点．
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明．
②求证：线段的长为定值．
【解析】(1)依题意可得，∴，∴．．
(2)证明：①由(1)题可得，设切线方程为：．联立，消去可得，整理可得．
∴，解得．
∴设直线PM：，直线．∴，即．
②设，直线．
则，消去可得．
即．
∴．整理得．
同理，设切线的斜率为，则有．∴．∴在“准圆”上．∴，∴．∴为“准圆”的直径．∴为定值，．
1 ．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点，距离之比为且的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．
(1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程；
(2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知是圆上任意一点，在平面内求出两个定点，，使得恒成立．只需写出两个定点，的坐标，无需证明．
解析：(1)4； (2)证明见解析，.
【分析】（1）设点P的坐标为，求出点P的轨迹方程为，求出，，求出最小值即得解；
（2）设，两圆方程相减可得MN的方程为，即得解.
（1）解：设点P的坐标为，根据题设条件有，
所以有，
化简得.
所以
，
由题知，当时，此时， |QM|最小，
即四边形面积取得最小值4.
（2）
解；设，由几何性质，可知M，N两点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，
而直线MN是此圆与圆的相交弦所在直线， 相减可得MN的方程为，
所以直线MN恒过定点.
题型二：面积问题
1 ．已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【答案】(1)（）(2)
【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.  
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离  ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
1 已知椭圆离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且.
(1)求的方程；
(2)设M，N是上异于的两点，若，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知，可得，.可得，
因为斜率为1，所以，
因为，所以，则，则，
于是的方程为；
（2）由（1）知，因为，所以不垂直于轴.
设直线，代入得.
当时，
设，，则，①
因为，所以，而
即，根据，，
故，可得
.
将①代入上式可得.
因为，整理得，则，解得，
直线经过定点，.
因为，
所以面积.
设，则，则，，
设，，当时，，则，
所以当，即时，面积取最大值.
题型三：齐次化解决定值定点问题
1 已