人教专题5.6 平面向量的数量积及其应用-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题5.6 平面向量的数量积及其应用-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·安徽·高三阶段练****已知向量m=2,−3，n=1,1 ，若(λm−n)⊥n，则实数λ的值为（    ）
A．−12 B．12 C．2 D．−2
【解题思路】根据(λm−n)⊥n得到λ的方程求解即可．
【解答过程】解：由题意得，λm−n=(2λ−1,−3λ−1)，
∵ (λm−n)⊥n，
∴ 2λ−1−3λ−1=0，
∴ λ=−2，
故选：D．
2．（5分）设向量a，b均为单位向量，则“a⊥b”是“2a−b=a+2b”的（    ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由数量积的运算性质与充分条件与必要条件的定义求解即可
【解答过程】向量a，b均为单位向量，由2a−b=a+2b化简可得
4a2−4a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2，
所以4−4a⋅b+1=1+4a⋅b+4，
所以a⋅b=0，即a⊥b.
向量a，b均为单位向量，当a⊥b时，
则a⋅b=0，
2a−b=4a2−4a⋅b+b2=5，
a+2b=4a2−4a⋅b+b2=5，
所以2a−b=a+2b，
所以“a⊥b”是“2a−b=a+2b”的充要条件，
故选：B.
3．（5分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知向量a=1,3，b=2,−4，则下列结论正确的是（    ）
A．a+b//a
B．2a+b=10
C．向量a与向量b的夹角为3π4
D．b在a的投影向量是(1,3)
【解题思路】应用向量坐标的线性运算求a+b=(3,−1)、2a+b=(4,2)，结合向量共线定理、模长的坐标运算判断A、B，根据向量夹角的坐标表示、投影向量的定义判断C、D.
【解答过程】由a+b=(3,−1)，不存在λ∈R使a+b=λa，即与a不共线，A错误；
由2a+b=(4,2)，故2a+b=25，B错误；
由cos<a,b>=a⋅b|a||b|=−1010×25=−22，又<a,b>∈[0,π]，故<a,b>=3π4，C正确；
由b在a的投影向量|b|cos<a,b>⋅a|a|=25×(−22)×a10=(−1,−3)，D错误.
故选：C.
4．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（理））已知非零向量a，b满足a=22b，且a−4b⊥a，则a与b的夹角为（    ）
A．π3 B．π4 C．2π3 D．3π4
【解题思路】根据给定条件，利用垂直的向量表示求出a⋅b，再利用夹角公式计算作答.
【解答过程】因非零向量a，b满足a=22b，由(a−4b)⊥a得：(a−4b)⋅a=a2−4a⋅b=0，解得a⋅b=14a2=2b2，
于是得cos〈a,b〉=a⋅b|a||b|=2b222b2=22，而0≤〈a,b〉≤π，则〈a,b〉=π4，
所以a与b的夹角为π4.
故选：B.
5．（5分）（2022·江苏南通·高三期中）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO=12AB+12AC，BA在BC上的投影向量为14BC，则OA⋅BC=（    ）
A．−3 B．−1 C．1 D．3
【解题思路】先根据条件得△ABC为直角三角形，再根据投影向量的公式可得cosB=12，进而可得三角形中每个角的大小，再通过计算∴OA⋅BC=−12AB+ACAC−AB可得答案.
【解答过程】解：AO=12AB+12AC，则O为BC中点，O又是外接圆圆心，
则△ABC为直角三角形，14BC为BA在BC上的投影向量，
∴BAcosBBC⋅BC=14BC，∴BAcosBBC=14，
∴cos2B=14，∴cosB=12
∴B=π3，C=π6，
∴OA⋅BC=−AO⋅BC=−12AB+ACAC−AB=−12AC2−AB2,
△ABC的外接圆半径为1，∴BC=2，∴AB=1，AC=3,
∴OA⋅BC=−123−1=−1，
故选：B.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练****设锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，且12cosA⋅OA+cosBsinC⋅AB+cosCsinB⋅AC=0，则角A的大小可能为（　　）
A．π4 B．π6 C．π3 D．5π12
【解题思路】根据三角恒等变换和外心的向量性质，将原式化简，即可求得角A的大小.
【解答过程】由于锐角△ABC内部的一点O满足|OA|＝|OB|＝|OC|，
所以点O为△ABC外接圆的圆心，外接圆的半径为R；
所以 12cosA⋅OA+cosBsinC⋅AB+cosCsinB⋅AC=0，
整理得 12cosA⋅