人教专题06 导数 6.1导数的几何意义 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题六 《导数》讲义
6.1导数的几何意义——切线
知识梳理.导数的几何意义
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型一. 在某点的切线
1．函数f（x）＝xlnx﹣x3﹣x+1的图象在x＝1处的切线方程是　3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）　．
【解答】解：由题意可得f'（x）＝lnx﹣3x2，则f'（1）＝﹣3，f（1）＝﹣1，
故所求切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1），
即3x+y﹣2＝0．
故答案为：3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）．
2．直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值为　1　．
【解答】解：y＝x3+ax+b的导数为y′＝3x2+a，
可得切线的斜率为k＝3+a，
又k+1＝3，1+a+b＝3，
解得k＝2，a＝﹣1，b＝3，
即有2a+b＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
3．已知曲线y=1ex+1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（　　）
A．x+4y﹣2＝0 B．x﹣4y+2＝0 C．4x+2y﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣1＝0
【解答】解：y=1ex+1的导数为y′=−ex(ex+1)2，
即有−ex(ex+1)2=−1ex+e−x+2≥−12ex⋅e−x+2=−14．
当且仅当x＝0时，取得等号．
即有切线的斜率为k=−14，切点为（0，12），
则切线的方程为y=−14x+12，
即为x+4y﹣2＝0．
故选：A．
题型二. 过某点的切线
1．已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程．
【解答】解：
设切点坐标为（x0，x02﹣5x