人教专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示
新课程考试要求
1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3．掌握平面向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.
考向预测
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算；
（2）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；
（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
(4) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；
(5)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
【知识清单】
1．平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．平面向量的坐标运算
1. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
(2)若，则．
3．平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
3．平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若，则⇔.
4．数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
1．a·b＝a1b1＋a2b2.
2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.
3．|a|＝.
4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)
【考点分类剖析】
考点一 ：平面向量基本定理及其应用
【典例1】（2020·全国高一单元测试）在平行四边形ABCD中，，，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
【答案】（1），（2）.
【解析】
（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】
（1），
；
（2）.
【典例2】（2017·全国高考真题（理））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λ AB+μ AD，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．22 C．5 D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,
易得圆的半径r=25，即圆C的方程是x−22+y2=45，
AP=x,y−1,AB=0,−1,AD=2,0，若满足AP=λAB+μAD，
则x=2μy−1=−λ ，μ=x2,λ=1−y，所以λ+μ=x2−y+1，
设z=x2−y+1，即x2−y+1−z=0，点Px,y在圆x−22+y2=45上，
所以圆心(2,0)到直线x2−y+1−z=0的距离d≤r，即2−z14+1≤25，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A.
【典例3】（2019·山东高考模拟（文））如图，在ΔABC中，AN=23NC，P是BN上一点，若AP=tAB+13AC，则实数t的值为________．
【答案】16
【解析】
由题意及图，AP→=AB→+BP→=AB→+mBN→=AB→+m(AN→−AB→)=mAN→+(1−m)AB→，
又AN→=23NC→，所以AN→=25AC→，∴AP→=25mAC→+（1﹣m）AB→，
又AP→=tAB→+13AC→，所以1−m=t25m=13，解得m=56，t=16，
故答案为：16．
【总结提升】
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
2.特别注意基底的不唯一性：
只要两个向量不共