人教专题07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（分层训练）（解析版）.docx

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解密07讲：任意角的三角函数、诱导公式及恒等式
【练基础】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
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2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由角的终边过点，求出，再由二倍角的余弦公式,求出即可.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
因此.
故选：C.
3．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若，则（    ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据正切两角差公式，凑角得的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再利用商数关系，化成含的式子，代入求值即可.
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【详解】解：因为，
所以．
故选：A.
4．（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（    ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由，观察可得，代入根据两角差的正弦定理展开整理即可得出答案.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
5．（2022·四川雅安·统考一模）已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
【详解】∵，
故选：D.
6．（2022·浙江·模拟预测）设为锐角，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦公式化简，再由函数的性质可得解.
【详解】，
，且为锐角
，且，
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故选：C
7．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.
【详解】
，
若存在，使不等式有解，
则问题转化为在上
因为，所以，
所以，
所以，
解得：或
即实数m的取值范围为：，
故选：B.
8．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）若，则（    ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】根据题意进行三角恒等变换，把整理到一边切化弦，通分利用二倍角公式，再把分式化为整式，逆用两角和的余弦公式即可得到答案.
【详解】由于，因为，且，
整理得，
故，
整理得：，
故．
故选：B．
二、多选题
9．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．扇形的面积为
C．
D．当时，四边形的面积为
【答案】AD
【分析】由题意圆的半径 在平面直角坐标系中写出的坐标用两点间的距离公式计算即可得A选项；选项B，利用扇形的面积公式计算即可；选项C，利用两点间的距离公式写出化简即可；选项D，分别表示出来化简即可
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【详解】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以，故A正确；
选项B：因为，
所以扇形的面积，
故B错误；
选项C，
故C错误；
选项D：
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因为，
所以
故D正确
故选：AD.
10．（2023·全国·高三专题练****若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可求得，结合诱导公式可判断出AC正误；利用可得正余弦的齐次式，根据同角三角函数商数关系可求得BD正误.
【详解】对于AC，，；
，
，A错误；
，C正确；
对于BD，，，
即，
，
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，
，B正确，D错误.
故选