人教专题10 数列 10.1等差数列 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十 《数列》讲义
10.1 等差数列
知识梳理.等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．　　 　
(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．
②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．　　　　　　　　　　　　　
(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(4)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
2.常用结论：
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(2)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
题型一. 等差数列的基本量
1．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝　11　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4＝12，3a2＝a5，
∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，
联立解得a1＝1，d＝2，
∴a6＝a1+5d＝11
故答案为：11
2．（2018•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，
∴3×(3a1+3×22d)=a1+a1+d+4a1+4×32d，
把a1＝2，代入得d＝﹣3
∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．
故选：B．
3．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，
∴a1+3d+a1+4d=246a1+6×52d=48，
解得a1＝﹣2，d＝4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
题型二. 等差数列的基本性质
1．在等差数列{an}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（　　）
A．30 B．24 C．18 D．12
【解答】解：∵等差数列{an}中，a5+a10＝12，
∴2a1+13d＝12，
∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．
故选：B．
2．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−13a11