人教专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十一 《立体几何》讲义
11.3 平行与垂直证明
知识梳理.平行与垂直证明
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
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判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
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判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
题型一. 平行问题
考点1.线面平行
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：
（1）直线MN∥平面PAD；

【解答】证明：（1）根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，
G是PD的中点，N是PC的中点，则NG∥DC且NG=12DC，
则四边形MNGA是平行四边形，则有MN∥AG，
又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN∥平面PAD；
2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．
（1）证明：PA∥平面BDE；

【解答】（1）证明：连结AC交BD于点F，连结EF，
在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，
所以AF＝2FC，又因为PE＝2EC，
所以PA∥EF，又PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
考点2.面面平行
3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．

【解答】证明：连结A1B、AC1，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点，
∴A1E∥AD，BD∥=C1E，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴C1D∥BE，
∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，
AD、C1D⊂平面ADC1，A1E、BE⊂平面A1EB，
∴平面A1EB∥平面ADC1．
4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
（1）求证：E、B、F、D1四点共面
（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．

【解答】证明：（1）如图：在DD1上取一点N使得DN＝1，
连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、
因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，
又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D1F∥BE，
所以E，B，F，D1四点共面；
（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H=32，
因为B1G＝1，所以B1GB1H=23，
因为FCBC=23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，
所以△B1HG∽△CBF，
所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，
所以HG∥FB，
由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，
所以平面A1GH∥平面BED1F．
考点3.线线平行
5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的