人教专题13解析几何 13.6弦长面积 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.6 弦长面积
知识梳理.弦长面积
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|；
②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)；
2．弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．
题型一. 轨迹方程
1．已知O为坐标原点，圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0，定点F（﹣1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
【解答】解：（Ⅰ）由题意知|MQ|+|FQ|＝|MN|＝4，
又|MF|＝2＜4，
∴由椭圆定义知动点Q的轨迹为以M、F为焦点、长轴长为4的椭圆，
故2a＝4，2c＝2，
∴曲线C的方程是x24+y23=1．
2．从抛物线y2＝4x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P．
（Ⅰ）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线y2＝4x上的任意一点为（x0，y0），垂线段的中点为（x，y），
则x=x0y=y02，即x0=xy0=2y，代入抛物线方程，可得（2y）2＝4x，即y2＝x．
故曲线P的方程为y2＝x，曲线P是焦点为（14，0）的抛物线；
3．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足OM→=12(OP→+OD→)的动点M的轨迹为C．
（1）求点M的轨迹C的方程．
【解答】解：（1）点P是圆x2+y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足OM→=12(OP→+OD→)的动点M的轨迹为C．
设点M（x，y），，D（x0，0）．
则x=x0y=12y0，由于x02+y02=4，整理得x24+y2=1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/21 22:20:59；用户：**********；邮箱：**********；学号：32355067
题型二. 中点弦——点差法
1．已知：椭圆x216+y24=1，求：
（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【解答】解：（1）设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），可得：x1216+y124=1，x2216+y224=1，
相减可得：(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)4=0，
把x1+x22=2，y1+y22=−1，k=y1−y2x1−x2代入可得：k=12．
∴以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程为：y+1=12（x﹣2），化为：x﹣2y﹣4＝0．
（2）设直线方程为：y＝2x+m，弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x，y）．
联立y=2x+mx216+y24=1，化为：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，
△＝256m2﹣68（4m2﹣16）＞0，化为：m2＜68．
∴x1+x2=−16m27=2x，化为：x=−8m17．
y＝2×(−8m17)+m=m17．
∴y=−18x(−161717＜x＜161717)．
2．已知斜率为k1（k1≠0）的直线l与椭圆x2+y29=1交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2＝（　　）
A．﹣3 B．−13 C．−19 D．﹣9
【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1+x22，y1+y22），
∴x12+y129=1，x22+y229=1，∴y12−y22x12−x22=−9，
又k1=y1−y2x1−x2，k2=y1+y22−0x1+x22−0=y1+y2x1+x2，
∴k1k2=y12−y22x12−x22=−9，
故选：D．
3．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M．若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为（　　）
A．3−12