人教高中数学专题1.3 常用逻辑用语-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题1.3 常用逻辑用语-重难点题型精讲
1．命题及相关概念
2．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
4．全称量词与全称量词命题
5.存在量词与存在量词命题
6．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
7．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
【题型1 充分、必要、充要条件的判断】
【方法点拨】
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q、q⇒p和p⇔q是否成立，最后得出结论．
(2)命题判断法：
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
【例1】（2022春•扬州期末）已知a∈R，则“a＞0”是“a2＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用举实例法，再结合充要条件的定义判定即可．
【解答过程】解：①当a=12时，满足a＞0，但a2＜1，∴充分性不成立，
②当a＝﹣2时，满足a2＞1，但a＜0，∴必要性不成立，
∴a＞0是a2＞1的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【变式1-1】（2022•普陀区二模）“x＞y＞0”是“x−1x＞y−1y”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解题思路】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可．
【解答过程】解：由x−1x−(y−1y)=x2−1x−y2−1y=(xy+1)(x−y)xy，又x＞y＞0，
所以x−1x−(y−1y)＞0，即x−1x＞y−1y，充分性成立；
当x−1x＞y−1y时，即(xy+1)(x−y)xy＞0，显x＝2，y＝﹣1时成立，必要性不成立；
故“x＞y＞0”是“x−1x＞y−1y”的充分非必要条件．
故选：A．
【变式1-2】（2022春•焦作期末）已知p：x2﹣4x﹣12＜0，q：log2x＜2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先解不等式求出命题p和q，再利用充要条件的定义判定即可．
【解答过程】解：p：∵x2﹣4x﹣12＜0，
∴﹣2＜x＜6，
q：log2x＜2，可得0＜x＜4，
∵（0，4）⫋（﹣2，6），
∴p是q的必要不充分条件，
故选：B．
【变式1-3】（2022•浦东新区二模）“log2a＞log2b”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据对数的定义和对数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可．
【解答过程】解：当log2a＞log2b时，由于函数y＝log2x是正实数集上的增函数，故可得a＞b，
若a＝0，b＝﹣1，显然a＞b，但是log2a，log2b没有意义，所以log2a＞log2b是a＞b的充分不必要条件．
故选：A．
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【方法点拨】
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例2】（2022春•雨花区校级月考）已知p：x−1＞2，q：m﹣x＜0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜5 D．m＞5
【解题思路】先求得命题p，q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得出答案．
【解答过程】解：命题p：x−1＞2，解得：x＞5；
命题q：m﹣x