人教高中数学专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）（解析版）.docx

专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）
目录
专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题） 1
1
题型一：导函数有效部分是一次型 1
题型二：导函数有效部分可视为一次型 4
题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解） 8
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解） 13
题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解） 18
题型六：借助二阶导函数讨论单调性 20
22
导函数有效部分
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.
题型一：导函数有效部分是一次型
【典型例题】
例题1．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
（1）由题设，且，则，
所以，，故在处的切线方程为.
（2）由且，
当时，即在定义域上递减；
当时，在上，递减，在上，递增，
综上，时递减；时在上递减，上递增.
例题2．（2022·河北沧州·二模）已知函数.
(1)求的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
(1)函数，定义域为，
（i）当时，单调递增；
（ii）当时，时，单调递减；
时，单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
【提分秘籍】
在例题1中，，可提取有效部分为，只要讨论有效部分的正负即可；在例题2中，可提取有效部分为，只要讨论有效部分的正负即可.
【变式演练】
1．（2022·北京延庆·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值和单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当时，函数，．   
所以，．                       
所以曲线在点处的切线方程．
(2)函数定义域．                    
求导得.                     
①当时，因为，所以．
故的单调递减区间是，此时无极值.   
②当时，变化时，变化如下表：
极小值
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．  
此时函数的极小值是，无极大值．
2．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练****已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）由题意得，，．
当，即时，，故函数在上单调递增；
当，即时，令，解得，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
题型二：导函数有效部分可视为一次型
【典型例题】
例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数
，，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)当时，在上单调递减．当时，时，单调递增，当时，单调递减．
（1），①当时，，在上单调递减．②当时，令，得，当时，单调递增；当时，，单调递减．
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
【答案】(1)答案见解析；
(1)，
.
当时，恒成立，则在上为减函数，
当时，令，可得，则，解得，
令，解得，
综上，当时，的减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【提分秘籍】
在例题1中，，可提取有效部分为，可以看作一次型，类似一次型讨论方式讨论
的正负；在例题2中，可提取有效部分为，可以看作一次型，只要讨论有效部分的正负即可.
【变式演练】
1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
【详解】（1）,
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，，解得，
当，当，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，时，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
2．（2022·全国·高三阶段练****文））已知函数．
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
【答案】(1)；
(2)见解析
（1）
时，，得，
所以，，
函数在点处的切线方程为，即
（2）
由题意，，
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
当时，，得，
①当，即时，
在上恒